ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣ

ବସ୍ତୁତ୍ୱ ଓ ଶକ୍ତି ଯୋଗୁଁ ସ୍ଥାନ-କାଳର ସଂରଚନାରେ ବକ୍ରତା ସୃଷ୍ଟି ହୋଇ ମହାକର୍ଷଣ ପ୍ରଭାବ ପରିଲକ୍ଷିତ ହେବା ବିଷୟ ଆଲବର୍ଟ୍ ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍‍ଙ୍କ ସାଧାରଣ ଆପେକ୍ଷିକତା ତତ୍ତ୍ୱର ଯେଉଁ ଦଶଟି ସମୀକରଣରେ ବର୍ଣ୍ଣିତ ହୋଇଛି, ସେମାନଙ୍କୁ ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣ (ଈଂରାଜୀରେ Einstein Field Equations-EFE ବା Einstein’s Equations) ବୋଲି କୁହାଯାଏ । ସର୍ବ ପ୍ରଥମେ ୧୯୧୫ ମସିହାରେ ବନ୍ଧନୀ ରାଶି (ଈଂରାଜୀରେ Tensor)ମାନଙ୍କୁ ନେଇ ଗଠିତ ହୋଇଥିବା ଏହି ସମୀକରଣଟି ପ୍ରକାଶ ପାଇଥିଲା । ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣରେ ସ୍ଥାନ-କାଳର ବକ୍ରତାକୁ ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ବନ୍ଧନୀ ରାଶି (ଈଂରାଜୀରେ Einstein Tensor)ଦ୍ୱାରା ଓ ଏହି ସ୍ଥାନ-କାଳରେ ସଂବେଗକୁ ବଳ-ଶକ୍ତି ବନ୍ଧନୀ ରାଶି (ଈଂରାଜୀରେ Stress-Energy Tensor)ଦ୍ୱାରା ବ୍ୟକ୍ତ କରାଯାଇଥାଏ ।

ମ୍ୟାକ୍ସୱେଲ୍ ସମୀକରଣରେ ଯେପରି ଚାର୍ଜ୍ ଓ ପ୍ରବାହଦ୍ୱାରା ବିଦ୍ୟୁତ୍-ଚୁମ୍ବକୀୟ କ୍ଷେତ୍ର ନିରୂପିତ ହୁଏ, ଠିକ୍ ସେହିପରି ବସ୍ତୁତ୍ୱ-ଶକ୍ତି ଓ ସଂବେଗର ଉପସ୍ଥିତିରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଥିବା ମାପକ ବନ୍ଧନୀ ରାଶି ସମୂହ ସ୍ଥାନ-କାଳ ଜ୍ୟାମିତିରେ କିପରି ବକ୍ରତା ସୃଷ୍ଟି ହୁଏ ତାହା ଦର୍ଶାଇଥାନ୍ତି । ଏହି ସବୁ ମାପକ ବନ୍ଧନୀ ରାଶି ଓ ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ବନ୍ଧନୀ ରାଶିଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ରହିଥିବା ସମ୍ପର୍କକୁ ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ସମୀକରଣ ରୂପରେ ଲେଖାଯାଏ । ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ କଲେ ବିଭିନ୍ନ ମୌଳିକ ବନ୍ଧନୀ ରାଶିଙ୍କଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ରାଶି ମିଳିଥାଏ ।

ମହାକର୍ଷଣ ପ୍ରଭାବ କ୍ଷୀଣ ଥିଲେ ଓ ବସ୍ତୁମାନଙ୍କ ବେଗ ଆଲୋକର ବେଗଠାରୁ ବହୁତ କମ୍ ହୋଇଥିଲେ ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ସମୀକରଣ ଶକ୍ତି-ସଂବେଗ ସଂରକ୍ଷଣ ନିୟମର ପାଳନ କରେ ଓ ନିଉଟନ୍‍ଙ୍କ ମହାକର୍ଷଣୀୟ ନିୟମରେ ପରିବର୍ତ୍ତିତ ହୋଇଥାଏ । ଜ୍ୟାମିତିକ ସମମୀତତା ପରି ଅବସ୍ଥା ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣରେ ବ୍ୟବହାର କଲେ ଏହା ଆହୁରି ସରଳୀକୃତ ହୋଇଥାଏ । ଆବର୍ତ୍ତନଶୀଳ କୃଷ୍ଣଗର୍ତ୍ତ, ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡର ପ୍ରସାରଣ ପରି ମହାକର୍ଷଣୀୟ ପ୍ରଭାବ ଅନୁଶୀଳନ କରିବା ପାଇଁ ଏହି ସମୀକରଣର କିଛି ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ମଡେଲ୍‍ର ଅନୁଶୀଳନ କରାଯାଏ । ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ସମୀକରଣର ଆଉ ଏକ ସରଳୀକୃତ ରୂପ ହେଉଛି ସମତଳ ସ୍ଥାନ-କାଳର ସମୀକରଣ । ମହାକର୍ଷଣୀୟ ତରଙ୍ଗର ପ୍ରକୃତି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାରେ ଏହି ସରଳୀକୃତ ରୂପ ସହାୟକ ହୋଇଥାଏ ।

ଗାଣିତିକ ରୂପ

ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍‍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣ ନିମ୍ନ ରୂପରେ ଲେଖାଯାଇ ପାରିବ :

$R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$

ଲାଇଡେନ୍‍ର ଏକ କାନ୍ଥରେ ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣ ଲିଖିତ ହୋଇଛି

ଏଠାରେ R_μν ହେଉଛି ରିଚି ବକ୍ରତା ବନ୍ଧନ ରାଶି, R ହେଉଛି ଅଦିଶ ବକ୍ରତା, g_μν ହେଉଛି ମାପକ ବନ୍ଧନୀ ରାଶି, Λ ହେଲା ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡ ବୈଜ୍ଞାନିକ ସ୍ଥିରାଙ୍କ, G ହେଲା ନିଉଟନ୍‍ଙ୍କ ମହାକର୍ଷଣୀୟ ସ୍ଥିରାଙ୍କ, c ହେଉଛି ଶୂନ୍ୟରେ ଆଲୋକର ବେଗ ଏବଂ T_μν ହେଉଛି ବଳ-ଶକ୍ତି ବନ୍ଧନୀ ରାଶି. ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣ ଏକ ୪×୪ ବନ୍ଧନୀ ରାଶିକୁ ନେଇ ଗଠିତ ହୋଇଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକ ବନ୍ଧନୀ ରାଶିର ୧୦ଟି ସ୍ୱାଧୀନ ଉପାଦାନ ରହିଛି । ଚାରି ବିଆଞ୍ଚି ସର୍ବସମୀକାର ଉପଯୋଗଦ୍ୱାରା ସ୍ୱାଧୀନ ସମୀକରଣର ସଂଖ୍ୟା ୧୦ରୁ କମ୍ ହୋଇ ୬ ହୋଇଯିବ । ଏହାଦ୍ୱାରା ଯେଉଁ ମାପକ କ୍ଷେତ୍ର ସୃଷ୍ଟି ହେବ ସେଥିରେ କେବଳ ଚାରିଟି ସ୍ୱାଧୀନତାର ସୂଚକ (ଈଂରାଜୀରେ Degrees of Freedom) ରହିବେ । ଏହି ୪ଟି ସ୍ୱାଧୀନତାର ସୂଚକ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ପଦ୍ଧତି (ଈଂରାଜୀରେ Coordinate System) ନିରୂପଣ କରିବାର ସ୍ୱାଧୀନତାକୁ ସୂଚାଇଥାନ୍ତି ।

ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ସମୟରେ ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣ ଏକ ଚତୁର୍ମିତିକ ତତ୍ତ୍ୱ (ଈଂରାଜୀରେ 4-Dimensional Theory) ରୂପେ ଲେଖାଯାଇଥିଲା କିନ୍ତୁ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସମୟରେ ଏହାକୁ n-ମିତିରେ ପରିପ୍ରକାଶ କରାଗଲା । ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ସାଧାରଣ ଆପେକ୍ଷିକତା ତତ୍ତ୍ୱର ପରିଧିରୁ ବାହାରେ ମଧ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଏ । Tର ମାନ ଶୂନ ହୋଇଗଲେ ଶୂନ୍ୟ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣ ମିଳିଥାଏ ଓ ଏହା ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ମେନିଫୋଲ୍ଡ୍ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାରେ ଉପଯୋଗୀ ହୋଇଥାଏ ।

ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ସମୀକରଣ ସହଜ ପ୍ରତୀତ ହୁଏ କିନ୍ତୁ ଏଗୁଡ଼ିକ ଅତ୍ୟନ୍ତ ଜଟିଳ । ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂରଚନାରେ ରହିଥିବା ପଦାର୍ଥ ଓ ଶକ୍ତିକୁ ବଳ-ଶକ୍ତି ବନ୍ଧନୀ ରାଶି ଭାବେ ଦର୍ଶାଯାଏ । ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣରେ ମାପକ ବନ୍ଧନୀ ରାଶି g_μνକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ସୂତ୍ର ଲେଖାଯାଏ । ଉଭୟ ରିଚି ବନ୍ଧନ ରାଶି ଓ ଅଦିଶ ବକ୍ରତା ଏକ ଜଟିଳ ସୂତ୍ରଦ୍ୱାରା ଏହି ମାପକ ସହିତ ସମ୍ପୃକ୍ତ । ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣ ହେଉଛି ପରସ୍ପର ସହିତ ସଂଯୁକ୍ତ ଦଶଟି ହାଇପରବୋଲିକ୍-ଏଲିପ୍ଟିକାଲ୍ ଆଂଶିକ ଡିଫରେନ୍‍ସିଆଲ୍ ସମୀକରଣଙ୍କ ସମାହାର । ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ବନ୍ଧନୀ ରାଶି ସହାୟତାରେ ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣକୁ ଆହୁରି ସଂକୁଚିତ ରୂପରେ ଲେଖାଯାଇ ପାରିବ ।

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },$

ଏହା ଏକ ସମମୀତ ଦ୍ୱିତୀୟ ଶ୍ରେଣୀ ବନ୍ଧନୀ ରାଶି ଓ ମାନକର ଏକ ଫଳନ । ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣକୁ ନିମ୍ନମତେ ଲେଖାଯାଇ ପାରିବ :

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.$

G = c = 1 ହେଲେ, ଜ୍ୟାମିତିକ ମାପକର ବ୍ୟବହାର କରି ସମୀକରଣକୁ ନିମ୍ନ ଭାବେ ଲେଖିହେବ ।

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,.$

ସମୀକରଣର ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ ଏଠାରେ ସ୍ଥାନ-କାଳର ବକ୍ରତା ସୂଚିତ କଲାବେଳେ ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱ ସ୍ଥାନ-କାଳରେ ପଦାର୍ଥ/ଶକ୍ତିର ମାପକୁ ସୂଚୀତ କରିଥାଏ । ତେଣୁ ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣଦ୍ୱାରା ପଦାର୍ଥ/ଶକ୍ତି କିପରି ସ୍ଥାନ-କାଳର ବକ୍ରତା ନିରୂପଣ କରନ୍ତି ତାହା ଦର୍ଶାଏ ।

ମୁକ୍ତ ପତନଶୀଳ ପଦାର୍ଥ ସ୍ଥାନ-କାଳରେ କିପରି ଗତି କରେ ତାହା ଜିଓଡେସିକ୍ ସମୀକରଣରୁ ଜଣାପଡ଼େ । ଜିଓଡେସିକ୍ ସମୀକରଣ ଓ ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣକୁ ମିଳିତ ଭାବେ ସାଧାରଣ ଆପେକ୍ଷିକତା ତତ୍ତ୍ୱ ଗାଣିତିକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ମୂଳ ।

ପ୍ରତୀକ ତାଲିକା

କିପ୍ ଥୋର୍ଣ୍ଣ୍, ଜନ୍ ହ୍ୱିଲର୍ ଓ ଚାର୍ଲ୍‍ସ୍ ମିସ୍ନର୍ ପୁସ୍ତକ “ଗ୍ରାଭିଟେସନ୍“ରେ ଉପର ଲିଖିତ ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣକୁ ମାନକ ଭାବେ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ କରିଛନ୍ତି । ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣର ସମସ୍ତ ରୂପର ଅନୁଶୀଳନ କଲା ପରେ ଏହି ତିନି ଲେଖକ (S1, S2, S3) ପ୍ରତୀକ ଶ୍ରେଣୀ ମଧ୍ୟ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରିପାରିଛନ୍ତି ।

${\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times {\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\end{aligned}}$

ଉପର ଲିଖିତ ତୃତୀୟ ପ୍ରତୀକ ରିଚି ବନ୍ଧନୀ ରାଶିର ଚୟନ ପାଇଁ ସହାୟକ ହୁଏ :

$R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }$

ଏହି ସବୁ ପ୍ରତୀକ ଅନୁସାରେ ମିସ୍ନର୍, ଥୋର୍ଣ୍ଣ୍ ଓ ହ୍ୱିଲର୍ (+ + +), ୱେଇନ୍‍ବର୍ଗ୍ (୧୯୭୨) ଓ ପିକକ୍ (୧୯୯୪) are (+ − −), ପିବ୍ଲେସ୍ (୧୯୮୦) ଓ ଏଫ୍‍ଷ୍ଟାଥିଓ (୧୯୯୦) (− + +), ରିଣ୍ଡ୍‍ଲର୍ (୧୯୭୭), ଏଟ୍ୱେଟର୍ (୧୯୭୪), କଲିନ୍ସ୍ ମାର୍ଟିନ୍ ଓ ସ୍କ୍ୱିରେସ୍ (୧୯୮୯) (− + −) ଶ୍ରେଣୀରେ ପରିଗଣିତ ହୁଅନ୍ତି ।

ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ସମେତ ଅନେକ ବୈଜ୍ଞାନିକ ରିଚି ବନ୍ଧନୀ ରାଶି ପାଇଁ ନିଜ ସୂତ୍ରରେ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ପ୍ରତୀକର ବ୍ୟବହାର କରିଥିଲେ ଯାହା ଫଳରେ ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱର ସ୍ଥିରାଙ୍କର ବିଯୁକ୍ତ ମାନ ମିଳିଥାଏ ।

$R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.$

ସମତୁଲ୍ୟ ସୂତ୍ର

ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର କର୍ଣ୍ଣ ବା ଟ୍ରେସ୍ ବାହାର କଲେ

$R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T\,$

ଏଠାରେ D ସ୍ଥାନ-କାଳର ମିତି । ଏହି ସମୀକରଣକୁ

$-R+{\frac {D\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {T}{{\frac {D}{2}}-1}}\,.$

ଭାବେ ମଧ୍ୟ ଲେଖାଯାଇ ପାରିବ । ଏହି ସମୀକରଣରେ −1/2g_μν ଥର ଯୋଡ଼ାଗଲେ ଏହାର ବିପରୀତ ଟ୍ରେସ୍ ରୂପ ମିଳେ ।

$R_{\mu \nu }-{\frac {\Lambda g_{\mu \nu }}{{\frac {D}{2}}-1}}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right).\,$

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, D= ୪ ବା ଚତୁର୍ମିତିରେ ସମୀକରଣ ସରଳୀକୃତ ହୋଇ

$R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).\,$ରେ ପରିଣତ ହୁଏ ।

ଟ୍ରେସ୍‍କୁ ପୁଣି ଓଲଟା କଲେ ମୂଳ ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣ ମିଳିବ । ସମୀକରଣର ଏହି ଓଲଟା ଟ୍ରେସ୍ ରୂପ ମଧ୍ୟ ଅନେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ । ଦୁର୍ବଳ କ୍ଷେତ୍ର ପରିସୀମା ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ ବେଳେ g_μνକୁ ମିଂକୋସ୍କି ମାପକଦ୍ୱାରା ଅଦଳ ବଦଳ କଲେ ମଧ୍ୟ ସମୀକରଣ ଉପରେ କୌଣସି ପ୍ରଭାବ ପଡ଼ି ନଥାଏ ।

ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡ ବୈଜ୍ଞାନିକ ସ୍ଥିରାଙ୍କ

ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ନିଜ ମୂଳ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣରେ ମାପକ ସହିତ ସମାନୁପାତୀ ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡ ବୈଜ୍ଞାନିକ ସ୍ଥିରାଙ୍କ Λ ଯୋଡ଼ି ଏଥିରେ ସାମାନ୍ୟ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରିଥିଲେ ।

$R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\,.$

Λ ଏକ ସ୍ଥିରାଙ୍କ ହୋଇଥିବାରୁ ଶକ୍ତି ସଂରକ୍ଷଣ ନିୟମ ଅପ୍ରଭାବିତ ରହେ ।

ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡର ଆକାର ସ୍ଥିର ଓ ଏହା ପ୍ରସାରିତ ବା ସଙ୍କୁଚିତ ହେଉନାହିଁ ବୋଲି ବିଚାର କରି ପ୍ରଥମେ ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡ ବୈଜ୍ଞାନିକ ସ୍ଥିରାଙ୍କ ନିଜ ସମୀକରଣରେ ଯୋଡ଼ିଥିଲେ । କିନ୍ତୁ ଏହି ଚେଷ୍ଟା ବିଫଳ ହେବାର କାରଣ ହେଲା :

• ସମୀକରଣରୁ ଏପରି ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡ ଅସ୍ଥାୟୀ ବୋଲି ଜଣା ପଡ଼ିଲା
• ଏଡ୍‍ୱିନ୍ ହବ୍ୱଲ୍ଙ୍କ ପରୀକ୍ଷଣରୁ ପ୍ରମାଣିତ ହୋଇଗଲା ଯେ ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡ କ୍ରମଶଃ ପ୍ରସାରିତ ହୋଇ ଚାଲିଛି

ତେଣୁ ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ନିଜ ସ୍ଥିରାଙ୍କ Λକୁ ପ୍ରତ୍ୟାଖ୍ୟାନ କରିଥିଲେ ଓ ଏହାକୁ ନିଜର ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ଭୁଲ ବୋଲି କହିଥିଲେ ।

ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡ ବୈଜ୍ଞାନିକ ସ୍ଥିରାଙ୍କ ସମୀକରଣ ଉପରେ କୌଣସି ପ୍ରଭାବ ପକାଇ ନଥାଏ ଓ ଅନେକ ବର୍ଷ ଧରି ଏହି ସ୍ଥିରାଙ୍କର ମାନକୁ ଶୂନ ବୋଲି କୁହାଯାଉଥିଲା । କିନ୍ତୁ ନିକଟ ଅତୀତରେ ଏହି ସ୍ଥିରାଙ୍କର ମାନ ଏକ ଯୁକ୍ତସଂଖ୍ୟା ବୋଲି ଧାର୍ଯ୍ୟ ହୋଇଛି । Λର ମାନ ଯୁକ୍ତସଂଖ୍ୟା ହେବାର ଅର୍ଥ ହେଲା ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ତ୍ୱରଣ ସହିତ ପ୍ରସାରିତ ହେବାରେ ଲାଗିଛି ।

Λ ଏକ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ସ୍ଥିରାଙ୍କ ବୋଲି ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ଭାବିଥିଲେ କିନ୍ତୁ ଏହାକୁ ସମୀକରଣର ଅପର ପାର୍ଶ୍ୱରେ ବଳ-ଶକ୍ତି ବନ୍ଧନୀ ରାଶିର ଅଂଶ ଭାବେ ମଧ୍ୟ ଲେଖାଯାଇ ପାରିବ ।

$T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}g_{\mu \nu }\,.$

ଏହା ଫଳରେ ସୃଷ୍ଟ ଶୂନ୍ୟ ଶକ୍ତି ଘନତା ଏକ ସ୍ଥିରାଙ୍କ ହୋଇଯିବ ଓ ଏହାର ସୂତ୍ର ହେବ :

$\rho _{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}$

ତେଣୁ ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡ ବୈଜ୍ଞାନିକ ସ୍ଥିରାଙ୍କର ଅବସ୍ଥିତିର ଅର୍ଥ ହେଲା ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନର ଶୂନ୍ୟ ଶକ୍ତି ରହିଛି । ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୟରେ ସାଧାରଣ ଆପେକ୍ଷିକତା ତତ୍ତ୍ୱରେ ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡ ବୈଜ୍ଞାନିକ ସ୍ଥିରାଙ୍କ ଓ ଶୂନ୍ୟ ଶକ୍ତି ଦୁହେଁ ସମାର୍ଥବାଚୀ ବୋଲି କୁହାଯାଉଛି ।

ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ

ଶକ୍ତି ଓ ସଂବେଗର ସଂରକ୍ଷଣ ନିୟମ

ସାଧାରଣ ଆପେକ୍ଷିକତା ତତ୍ତ୍ୱ ଶକ୍ତି ଓ ସଂବେଗର ସଂରକ୍ଷଣ ନିୟମର ମଧ୍ୟ ସମର୍ଥନ କରେ ଓ ତାହାକୁ ସମୀକରଣରେ ଲେଖିଲେ

$\nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0$ ପାଇବା ।

ସ୍ଥାନୀୟ ଶକ୍ତି ଓ ସଂବେଗର ସଂରକ୍ଷଣର ବ୍ୟୁତ୍ପତ୍ତି

ଡିଫରେଂସିଆଲ୍ ବିଆଞ୍ଚି ସର୍ବସମୀକାର ସଂକୁଚନ ହେଲେ ଆମେ ପାଇବା $R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=0$ gαβ;γ = 0 ହେଲେ ${R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }+{R^{\gamma }}_{\beta \varepsilon \gamma ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=\,0$ ରିଏମାନ୍ ବନ୍ଧନୀ ରାଶିରେ ଅସମମୀତତା ରହିଥିବାରୁ ଉପର ସମୀକରଣର ଦ୍ୱିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଅନ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ଲେଖି ହେବ : ${R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }-{R^{\gamma }}_{\beta \gamma \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0$ ଯାହା :$R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0$ ସହିତ ସମାନ । ଏଠାରେ ରିଚି ବନ୍ଧନୀ ରାଶିକୁ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇଛି । ଏହାପରେ, :$g^{\beta \delta }\left(R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\right)=0$କୁ ମାପକର ବ୍ୟବହାର କରି ସଂକୁଚିତ କଲେ ${R^{\delta }}_{\delta ;\varepsilon }-{R^{\delta }}_{\varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma \delta }}_{\delta \varepsilon ;\gamma }=0$ ପାଇବା ରିଚି ବକ୍ରତା ବନ୍ଧନୀ ରାଶି ଓ ଅଦିଶ ବକ୍ରତାର ସଂଜ୍ଞାନୁସାରେ $R_{;\varepsilon }-2{R^{\gamma }}_{\varepsilon ;\gamma }=0$ ଯାହାକୁ ଅନ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ଲେଖିଲେ ପାଇବା $\left({R^{\gamma }}_{\varepsilon }-{\tfrac {1}{2}}{g^{\gamma }}_{\varepsilon }R\right)_{;\gamma }=0$ ଶେଷକୁ ଛାଞ୍ଚ:Mvar ସହିତ ସଂକୁଚନ କରାଗଲେ $\left(R^{\gamma \delta }-{\tfrac {1}{2}}g^{\gamma \delta }R\right)_{;\gamma }=0$ ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ବନ୍ଧନୀ ରାଶିରେ ରହିଥିବା ଏକ ଅଂଶର ସମମୀତତା ଯୋଗୁଁ ଏହି ସମୀକରଣ ପୁଣି ପରିବର୍ତ୍ତିତ ହୁଏ । ${G^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0$ ଏହାକୁ ସମୀକରଣରେ ବ୍ୟବହାର କଲେ $\nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0$ ମିଳିବ ।

ଉପରୋକ୍ତ ସମାଧାନ ବଳ-ଶକ୍ତିର ସଂରକ୍ଷଣ ପ୍ରତିପାଦିତ କରିଥାଏ । ଏହି ସଂରକ୍ଷଣ ପ୍ରତିପାଦିତ ନ ହେଲେ ଆବଶ୍ୟକ ଭୌତିକ ନିୟମ ପୂରଣ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ଏହି ପ୍ରମାଣଦ୍ୱାରା ସାଧାରଣ ଆପେକ୍ଷିକତା ତତ୍ତ୍ୱ ସଂରକ୍ଷଣ ନିୟମର ସମର୍ଥନ କରେ ବୋଲି ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ଧାର୍ଯ୍ୟ କରିଥିଲେ ।

ଅରୈଖିକତା

ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସମୀକରଣର ଅରୈଖିକତା ଯୋଗୁଁ ସାଧାରଣ ଆପେକ୍ଷିକତା ତତ୍ତ୍ୱ ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନର ଅନ୍ୟ ତତ୍ତ୍ୱମନଙ୍କଠାରୁ ଯଥେଷ୍ଟ ଭିନ୍ନ । ଯଥା – ମ୍ୟାକ୍ସୱେଲ୍‍ଙ୍କ ବିଦ୍ୟୁତ୍-ଚୁମ୍ବକତ୍ୱ ସମୀକରଣରେ ବୈଦୁତିକ କ୍ଷେତ୍ର ଓ ଚୁମ୍ବକୀୟ କ୍ଷେତ୍ର, ଚାର୍ଜ୍ ଓ ପ୍ରବାହ ବିତରଣରେ ରୈଖିକତା (ଦୁଇଟି ସମାଧାନର ସମଷ୍ଟି ମଧ୍ୟ ଏକ ସମାଧାନ) ଦେଖିବାକୁ ମିଳେ । ପ୍ରମାତ୍ର ବିଜ୍ଞାନର ସ୍କ୍ରୋଡିଞ୍ଜର୍ ସମୀକରଣ ମଧ୍ୟ ତରଙ୍ଗଫଳନରେ ରୈଖିକ ।

ଆହୁରି ଦେଖନ୍ତୁ

ସଦିଶ ରାଶି

ଅଦିଶ ରାଶି

ବନ୍ଧନୀ ରାଶି

ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ

ଆଲବର୍ଟ ଆଇନଷ୍ଟାଇନ